设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f（x）。如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）>0，使得f

题型：江苏高考真题难度：来源：

设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f（x）。如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）>0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）。
（I）设函数，其中b为实数。
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（ii）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）具有性质P（2）。给定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁<x₂，设m为实数，α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且α>1，β>1，若|g（α）-g（β）|< |g（x₁）-g（x₂）|，求m的取值范围。

答案

解：（I）（i）由得
因为时，
所以函数具有性质P（b）；
（ii）当时，由得
所以
从而函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增
当b>2时，解方程
得
因为，
所以当x∈（1，x₂）时，f′（x）<0；当x ∈（x₂，+∞）时，f"（x）>0；当x=x₂时，f"（x）=0
从而函数f（x）在区间（1，x₂）上单调递减，在区间（x₂，+∞）上单调递增
综上所述，当b≤2时，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当b>2时函数f（x）的单调减区间为，单调增区间为；
（Ⅱ）由题设知g（x）的导函数g"（x）=h（x）（x²-2x+1），其中函数h（x）>0对于任意的x∈（1，+∞）都成立，所以，当x>1时，g"（x）=h（x）（x-1）²>0，从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增。 ①当m∈（0，1）时，有α=m₁+（1-m）x₂> mx₁+（1-m）x₁=x1，α<mx₂+（1-m）x₂= x₂，得α∈（x₁，x₂），同理可得β∈（x₁，x₂），所以由g（x）的单调性知g（α），g（β）∈（g（x₁）， g（x₂）），从而有|g（α）- g（β）|<|g（x₁）-g（x₂）|，符合题设；
②当m≤0时，α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，β =（1-m）x₁+mx₂≤（1-m）x₁+mx₁=x₁，于是由α>1，β>1 及g（x）的单调性知g（β）≤g（x₁）<g（x₂）≤g（α），所以 |g（α）-g（β）|≥|g（x₁）-g（x₂）|，与题设不符，
③当m≥1时，同理可得α≤x₁，β≥x₂，进而得|g（α）-g（β）| ≥|g（x₁）-g（x₂）|，与题设不符
因此，综合①②③得所求的m的取值范围为（0，1）。