(1)因为f(x)=ax+xlnx,所以f"(x)=a+lnx+1.(1分) 因为函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3, 所以f"(e)=3,即a+lne+1=3.所以a=1.(2分) (2)解:由(1)知,f(x)=x+xlnx, 所以对任意x>1恒成立,即对任意x>1恒成立.(3分) 令,则,(4分) 令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),则, 所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.(5分) 因为h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0, 所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4). 当1<x<x0时,h(x)<0,即g"(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g"(x)>0, 所以函数在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增. .(7分) 所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4).故整数k的最大值是3.(8分) (3)证明:由(2)知,是[4,+∞)上的增函数,(9分) 所以当n>m≥4时,.(10分) 即n(m﹣1)(1+lnn)>m(n﹣1)(1+lnm). 整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n﹣m).(11分) 因为n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.(12分) 即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn. 即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分) 所以(mnn)m>(nmm)n.(14分) 证明2:构造函数f(x)=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx,(9分) 则f"(x)=(m﹣1)lnx+m﹣1﹣mlnm.(10分) 因为x>m≥4,所以f"(x)>(m﹣1)lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm>0. 所以函数f(x)在[m,+∞)上单调递增.(11分) 因为n>m,所以f(n)>f(m). 所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn>m2lnm+mlnm﹣m2lnm﹣mlnm=0.(12分) 即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn. 即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn. 即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分) 所以(mnn)m>(nmm)n. |