已知函数,(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求;(Ⅱ)讨论函数的单调区间;(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求 的取值范围.

已知函数,(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求;(Ⅱ)讨论函数的单调区间;(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求 的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数
(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求
(Ⅱ)讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)若对于任意的,不等式上恒成立,求 的取值范围.
答案

(1)
(2),是增函数;是减函数
(3)
解析

解:(Ⅰ)     ……………………………………………2分
因为是函数的一个极值点,所以,得.
因为,所以.      ……………………………………………………3分
(Ⅱ)因为的定义域是
.
(1)      当时,列表












是增函数;是减函数.
(2)  当时,是增函数.
(3)      当时,列表












,是增函数;是减函数. ……9分
(Ⅲ)当时,
由(Ⅱ)可知上是增函数.
时,也有上是增函数,
所以对于对于任意的的最大值为
要使不等式上恒成立,

,因为
所以上递减,的最大值为,所以.
的取值范围为.        …………………………………………14分
举一反三
(本题满分12分)
已知函数f(x)=-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2
(1)   当x1=,x2=时,求a,b的值;
(2)若w=2a+b,求w的取值范围;
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设关于的二次函数
(I)设集合P={1,2, 4}和Q={-1,1,2},分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数的值,求函数有且只有一个零点的概率;
(II)设点()是随机取自平面区域内的点,求函数上是减函数的概率.
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已知函数.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)当时,求的单调区间.
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本小题满分14分)已知函数的图像与函数的图象相切,记
(1)求实数b的值及函数F(x)的极值;
(2)若关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根,求实数k的取值范围.
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(14分)在R上定义运算,记
(1)若在x=1处有极值,求b, c的值;
(2)求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
(3)记的最大值为M,若对任意b, c恒成立,求k的最大值。
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