(本小题满分14分)已知关于x的函数f(x)=+bx2+cx+bc,其导函数为f+(x)。令g(x)=∣f+(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大

(本小题满分14分)已知关于x的函数f(x)=+bx2+cx+bc,其导函数为f+(x)。令g(x)=∣f+(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)已知关于x的函数f(x)=bx2cxbc,其导函数为f+(x)。令g(x)=∣f+(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M
(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定bc的值;
(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2;
(Ⅲ)若MK对任意的bc恒成立,试求k的最大值。
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)证明见解析。
(Ⅲ)
解析
本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想(满分14分)。
(I)解:,由处有极值
可得
解得,或
,则,此时没有极值;
,则
变化时,的变化情况如下表:




1



0
+
0



极小值

极大值

时,有极大值,故即为所求。
(Ⅱ)证法1:
时,函数的对称轴位于区间之外。
上的最值在两端点处取得,
应是中较大的一个,

证法2(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外,
上的最值在两端点处取得。
应是中较大的一个。
假设,则
,将上述两式相加得:
,导致矛盾,
(Ⅲ)解法1:
(1)当时,由(Ⅱ)可知
(2)当时,函数)的对称轴位于区间内,
此时

①若
于是
②若,则
于是
综上,对任意的都有
而当时,在区间上的最大值
对任意的恒成立的的最大值为
解法2:
(1)当时,由(Ⅱ)可知
(2)当时,函数的对称轴位于区间内,
此时
,即
下同解法1
举一反三
(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的定义域,并判断的单调性;
(Ⅱ)若
(Ⅲ)当为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值。
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 在上的最大值和最小值。
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已知二次函数的二次项系数为,且不等式的解集为 
⑴若方程有两个相等的实数根,求的解析式;
⑵若函数无极值,求实数的取值范围
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(1)求a的值,使的极小值为0;
(2)证明:当且仅当a=3时,的极大值为4。
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设曲线处的切线lx轴、y轴所围成的三角形面积为S(t).
(Ⅰ)求切线l的方程;
(Ⅱ)求S(t)的最大值.
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