设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0)其中,f(0)=3,f′(x)是f(x)的导函数.(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36
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设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0)其中,f(0)=3,f′(x)是f(x)的导函数. (Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若c=-6,函数f(x)的两个极值点为x1,x2满足-1<x1<1<x2<2.设λ=a2+b2-6a+2b+10,试求实数λ的取值范围. |
答案
(Ⅰ)由于f(0)=3,则d=3, 而f"(x)=3ax2+2bx+c…(1分) 由f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0知 ….(2分) 解得 …(4分) 故f(x)=x3-3x2-45x+3即为所求.…(5分) (Ⅱ)据题意,函数f(x)=ax3+bx2-6x+3,则f′(x)=3ax2+2bx-6 又x1,x2是方程f′(x)=0的两根,且-1<x1<1<x2<2,a>0. 则即…(7分) 则点(a,b)的可行区域如图…(10分) 由于λ=a2+b2-6a+2b+10=(a-3)2+(b+1)2, 则λ的几何意义为点P(a,b)与点A(3,-1)的距离的平方.….….(11分) 观察图形知点,A到直线3a+2b-6=0的距离的平方d2为λ的最小值 而d2== 故λ的取值范围是(,+∞)…..(13分).
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举一反三
函数f(x)的导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值点个数有( )
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已知函数f(x)=,x∈[0,2]. (1)求f(x)的值域; (2)设a≠0,函数g(x)=ax3-a2x,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax2-lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R. (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=x2+bx+c的图象与x轴相切于点(3,0),函数g(x)=-2x+6,则这两个函数图象围成的区域面积为( ) |
已知函数f(x)=x2ex. (1)求f(x)的极值. (2)求f(x)在区间[t,0]上的最大值和最小值. |
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