已知函数f（x）=x2ex．（1）求f（x）的极值．（2）求f（x）在区间[t，0]上的最大值和最小值．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x2ex．
（1）求f（x）的极值．
（2）求f（x）在区间[t，0]上的最大值和最小值． |
答案
（1）f′（x）=xex（2+x）．
令f′（x）=0，解得x=0或-2．
由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
∴函数f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）单调递增；
由f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，∴函数f（x）在（-2，0上单调递减．
∴函数f（x）在x=0取得极小值，f（0）=0；
在x=-2取得极大值，f（-2）=．
（2）①当0＞t≥-2时，函数f（x）在区间[t，0]上单调递减，
∴当x=t时，函数f（x）取得最大值，且f（t）=t2et；当x=0时，函数f（x）取得最小值，且f（0）=0；
②当t＜-2时，函数f（x）在区间[t，-2）上单调递增；函数f（x）在区间[-2，0]上单调递减．
∴当x=-2时，函数f（x）取得最大值，且f（-2）=．
又f（t）=t2et，f（0）=0，
∴f（0）＜f（t），因此函数f（x）的最小值为f（0）=0． |
举一反三
| 设a∈R，若函数y=x3+ax，x∈R有大于零的极值点，则（ ） |
| 设函数f（x）=x3+x2，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程______． |
曲线y=sinx+ex在点（0，1）处的切线方程是（ ）| A．x-3y+3=0 | B．x-2y+2=0 | C．2x-y+1=0 | D．3x-y+1=0 |
|
| 已知曲线y=x3上过点（2，8）的切线方程为12x-ay-16=0，则实数a的值为（ ） |
已知函数f（x）=alnx-x2，x=1是f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），求证：＜x2-x1＜．（参考数据：ln2≈0.7 e≈2.7） |
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