已知函数f(x)=alnx-x2,x=1是f(x)的一个极值点.(1)求a的值;(2)若方程f(x)+m=0在[1e,e]内有两个不等实根,求m的取值范围(其中
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已知函数f(x)=alnx-x2,x=1是f(x)的一个极值点.(1)求a的值;(2)若方程f(x)+m=0在[1e,e]内有两个不等实根,求m的取值范围(其中
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=alnx-x
2
,x=1是f(x)的一个极值点.
(1)求a的值;
(2)若方程f(x)+m=0在[
1
e
,e]内有两个不等实根,求m的取值范围(其中e为自然对数的底数);
(3)令g(x)=f(x)+3x,若g(x)的图象与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0)(其中x
1
<x
2
),求证:
5
2
<x
2
-x
1
<
7
2
.(参考数据:ln2≈0.7 e≈2.7)
答案
(1)求导函数可得f′(x)=
a
x
-2x=-
2
x
2
-a
x
(x>0)
∵x=1是f(x)的一个极值点.
∴f′(1)=0,可得a=2.
(2)f(x)=2lnx-x
2
,令h(x)=f(x)+m=2lnx-x
2
+m,
则h′(x)=
2
x
-2x=-
2
x
(x-1)(x+1)
,
令h′(x)=0,得x=1(x=-1舍去).
由于x∈[
1
e
,e
],
则当x∈[
1
e
,1
]时,h′(x)>0,∴h(x)是增函数;
当x∈[1,e]时,h′(x)<0,∴h(x)是减函数,
则方程h(x)=0在[
1
e
,e
]内有两个不等实根的充要条件是:
h(
1
e
)≤0
h(1)>0
h(e)≤0.
即
1<m≤2+
1
e
2
.
(3)若g(x)的图象与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0)(其中x
1
<x
2
),
则方程2lnx-x
2
+3x=0的解为x
1
,x
2
(其中x
1
<x
2
).
故函数y=2lnx与y=x
2
-3x的交点的横坐标为x
1
,x
2
,
作出两函数图象如图.如图所示,
由于
2ln
1
2
=-2ln2≈-1.4
,
(
1
2
)
2
-3×
1
2
=-
5
4
=-1.25
,所以
1
2
<
x
1
<1
,
同理得到
7
2
<
x
2
<4
,
故
-1<
-x
1
<-
1
2
,所以
5
2
<x
2
-x
1
<
7
2
.
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.则下列说法中不正确的编号是______.(写出所有不正确说法的编号)
(1)当x=
3
2
时函数取得极小值;
(2)f(x)有两个极值点;
(3)c=6;
(4)当x=1时函数取得极大值.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d为奇函数,且在点(2,f(2))处的切线方程为9x-y-16=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)+m的图象与x轴仅有一个公共点,求m的范围.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=x
3
在点x=1处的切线方程是( )
A.y=3x-2
B.y=3x-4
C.y=2x-1
D.y=2x-2
题型:不详
难度:
|
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下列函数中,x=0是极值点的函数是( )
A.y=-x
3
B.y=cos
2
x
C.y=tanx-x
D.y=
1
x
题型:不详
难度:
|
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方程x
3
-6x
2
+9x+1=0的实根个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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