设函数f（x）=xekx（k≠0）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当k＞0时，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）在
题型：不详难度：来源：
设函数f（x）=xekx（k≠0）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当k＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围． |
答案
（1）因为f"（x）=（1+kx）ekx，f"（0）=1，f（0）=1．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x．…．（4分）
（2）由f"（x）=（1+kx）ekx=0得1+kx=0，即x=-，k≠0．…．（5分）
①若k＞0，则当x＜-时，f"（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x＞-时，f"（x）＞0，函数f（x）单调递增．…．（7分）
②若k＜0，则当x＜-时，f"（x）＞0，函数f（x）单调递增．
当x＞-时，f"（x）＜0，函数f（x）单调递减．…..（9分）
所以当k＞0时，函数的减区间为（-∞，-），增区间为（-，+∞）．
当k＜0时，函数的增区间为（-∞，-），减区间为（-，+∞）．
（3）由（II）知，若k＞0，则当且仅当-≤-1，即k≤1，f（x）在区间（-1，1）内单调递增；…（11分）
若k＜0，则当且仅当-≥1，即k≥-1．
综上可知，f（x）在区间（-1，1）内单调递增时，k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]． |
举一反三
已知函数f（x）=x3+ax2+2bx+c在R上可导．
（1）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=3a，求a的取值范围；
（2）若f（x）的极大值点在（0，1）内，极小值点在（1，2）内，求的取值范围． |
| 已知函数f（x）=xn，其中n∈Z，n≥2．曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））（x0＞0）处的切线为l，l与x轴交于点Q，与y轴交于点R，则=（ ） |
已知曲线y=x2上一点P处的切线与直线2x-y+1=0平行，则点P的坐标为（ ）| A．（-1，1） | B．（1，1） | C．（2，4） | D．（3，9） |
|
已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m-1的图象与y=f（1+x2）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由． |
| 已知直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个交点，求常数a的取值范围． |
最新试题
热门考点