设函数f(x-1)=x+x2+x3+…+xn(x≠0,1),且f(x)中所有项的系数和为an,则limn→∞an2n=______.
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设函数f(x-1)=x+x2+x3+…+xn(x≠0,1),且f(x)中所有项的系数和为an,则limn→∞an2n=______.
题型:不详
难度:
来源:
设函数f(x-1)=x+x
2
+x
3
+…+x
n
(x≠0,1),且f(x)中所有项的系数和为a
n
,则
lim
n→∞
a
n
2
n
=______.
答案
函数f(x-1)=x+x
2
+x
3
+…+x
n
=
x(1-
x
n
)
1-x
,所以f(x)=
(x+1)[
(x+1)
n
-1]
x
,
当x=1时,f(x)中所有项的系数和为a
n
=2×(2
n
-1)=2×2
n
-2,
lim
n→∞
a
n
2
n
=
lim
n→∞
2×2
n
-2
2
n
=2-
lim
n→∞
2
2
n
=2.
故答案为:2.
举一反三
设函数
f(x)=
-1(x〈0)
x
2
-1(0≤x≤1)
x+3(x〉1)
(1)求f(x)在x=0处的左右极限,并判断f(x)在x=0处是否有极限,是否连续;
(2)判断f(x)在x=1、x=2是否连续.
题型:不详
难度:
|
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已知定义在正实数集上的函数f(x)=x
2
+4ax+1,g(x)=6a
2
lnx+2b+1,其中a>0.
(Ⅰ)设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)设h(x)=f(x)+g(x),证明:若
a≥
3
-1
,则对任意x
1
,x
2
∈(0,+∞),x
1
≠x
2
有
h(
x
2
)-h(
x
1
)
x
2
-
x
1
>8
.
题型:沈阳模拟
难度:
|
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已知函数 f(x)=6lnx(x>0)和 g(x)=ax
2
+8x(a为常数)的图象在x=3 处有平行切线.
(1)求 a 的值;
(2)求函数F(x)=f(x)-g(x)的极大值和极小值.
题型:不详
难度:
|
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若复数
a+3i
1+2i
(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则
lim
n→∞
(
1
a
+
1
a
2
+…+
1
a
n
)
=( )
A.
1
7
B.
5
7
C.-
1
7
D.-
5
7
题型:湖北模拟
难度:
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已知函数
f(x)=
4
3
x
3
+ax-1(a∈R)
,其中f"(x)是f(x)的导函数,若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y+1=0平行,则a=______.
题型:锦州三模
难度:
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