设曲线y=xn+1（n∈N）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1•x2•x3•…•x2012的值为______．

题型：湖南模拟难度：来源：

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•x₃•…•x₂₀₁₂的值为______．

答案

因为y=xⁿ⁺¹，
故y′=（n+1）xⁿ，
所以x=1时，y′=n+1，
则直线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，则x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故切线与x轴的交点为（

n

n+1

，0）
则x₁•x₂•…•x₂₀₁₂=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2012

2013

=

1

2013

．
故答案为：

1

2013

．