已知函数f(x)=x3+ax2-2ax-3a,(a∈R).(Ⅰ)若f(x)在x=2处的切线与直线x+6y=0垂直,求a的值.(Ⅱ)证明:对于∀a∈R都∃x∈[-
题型:台州二模难度:来源:
已知函数f(x)=x3+ax2-2ax-3a,(a∈R). (Ⅰ)若f(x)在x=2处的切线与直线x+6y=0垂直,求a的值. (Ⅱ)证明:对于∀a∈R都∃x∈[-1,4],使得f(x)≤f′(x)成立. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax-2a,直线x+6y=0的斜率为-,由题意得f′(2)=12+2a=6, 所以a=-3…(4分) (Ⅱ)证明:令g(x)=f(x)-f′(x),g(x)=x3+(a-3)x2-4ax-a, 由g′(x)=0得:x1=2,x2=-…(7分) (1)当a≤-3时,x2≥x1,在(-∞,2]上g′(x)≥0,即g(x)在(-∞,2]上单调递增,此时g(x)min≤g(-1)=4a-4≤-16. ∴a≤-3…(10分) (2)当a>-3时,x1>x2,在(-∞,-]上g′(x)≥0,在(-,2)上g′(x)<0,在[2,+∞)上g′(x)≥0,即g(x)在(-∞,-]上单调递增,在(-,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,g(x)min≤g(2)或者g(x)min≤g(-1),此时只要g(-1)=4a-4≤0或者g(2)=-5a-4≤0即可,得a≤1或a≥-, ∴a>-3.…(14分) 由 (1)、(2)得 a∈R. ∴综上所述,对于∀a∈R都∃x∈[-1,4],使得f(x)≤f′(x)成立.…(15分) |
举一反三
已知函数f(x)=xlnx. (I)若函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点,求实数a的最大值; (II)若∀x>0,≤x-kx2-1恒成立,求实数k的取值范围. |
函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R), (1)当a>0时,求函数f(x)的极大值和极小值; (2)当a>3时,求对于任意实数k∈[-1,0],使得不等式f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)恒成立的x取值范围. |
已知函数f(x)=x3-(2a+1)x2+(a2+a)x. (Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的值; (Ⅱ)若∀m∈R,直线y=kx+m都不是曲线y=f(x)的切线,求k的取值范围; (Ⅲ)若a>-1,求f(x)在区间[0,1]上的最大值. |
方程x3-6x2+9x-10=0与y=-8的交点个数是( ) |
曲线y=x3-2x在点(1,-1)处的切线在y轴上的截距为( ) |
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