(I)由f(x)=x3+x2+(a2-3a)x-2a. 得f"(x)=x2+(a-3)x+a2-3a,对任意x∈[1,2],f"(x)>a2恒成立, 即x2+(a-3)x-3a>0,(x-3)(x+a)>0对任意x∈[1,2]恒成立, 又x-3<0恒成立,所以x+a<0对x∈[1,2]恒成立,所以a<-x恒成立, 所以a<-2.…(4分) (II)依题意知x1,x2恰为方程f"(x)=x2+(a-3)x+a2-3a=0的两根, 所以 | (a-3)2-4(a2-3a)>0 | x1+x2=3-a | x1x2=a2-3a |
| | 解得-1<a<3…(5分) 所以①x1+x2+a=3为定值,…(6分) ②++a2=(x1+x2)2-2x1x2+a2=9为定值,…(7分) ③++a3=(x1+x2)(-x1x2+)+a3=3a3-9a2+27不是定值 即g(a)=3a3-9a2+27(-1<a<3),可得g"(a)=9a2-18a, 当a∈[-1,0]时,g"(a)>0,g(a)=3a3-9a2+27在a∈[-1,0]是增函数, 当a∈[0,2]时,g"(a)<0,g(a)=3a3-9a2+27在a∈[-1,0]是减函数, 当a∈[2,3]时,g"(a)>0,g(a)=3a3-9a2+27在a∈[2,3]是增函数, 因此,g(a)在(-1,3)上的最小值是g(-1)与g(2)中较小的一个, 又∵g(-1)=15;g(2)=15 ∴g(a)=3a3-9a2+27(-1<a<3)的最小值为15(a=2时取到).…(12分) |