已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时

已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
alnx
x+1
+
b
x
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>
lnx
x-1
答案
(I)f′(x)=
a(
x+1
x
- lnx)
(x+1)2
-
b
x2

由于直线x+2y-3=0的斜率为-
1
2
,且过点(1,1)
所以





b=1
a
2
-b
=-
1
2

解得a=1,b=1
(II)由(I)知f(x)=
lnx
x+1
+
1
x

所以f(x)-
lnx
x-1
=
1
1-x2
(2lnx-
x2-1
x
)

考虑函数h(x)=2lnx-
x2-1
x
(x>0)

h′(x)=
2
x
-
2x2-(x2-1)
x2
=-
(x-1)2
x2

所以当x≠1时,h′(x)<0而h(1)=0,
当x∈(0,1)时,h(x)>0可得
1
1-x2
h(x)>0

x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得
1
1-x2
h(x)>0

从而当x>0且x≠1时,
f(x)-
lnx
x-1
>0即f(x)>
lnx
x-1
举一反三
lim
n→∞
(1+
2
n
)n
=______.
题型:浦东新区一模难度:| 查看答案
lim
n→∞
(1-
2
n
)n
=______.
题型:浦东新区一模难度:| 查看答案
下列四个极限运算中,正确的是(  )
A.
lim
x→0
|x|
x
=1
B.
lim
x→1
x2-1
2(x-1)
=1
C.
lim
x→-1
|x|-1
x-1
=1
D.
lim
x→0
|x|


x
=1
题型:杭州一模难度:| 查看答案
lim
n→∞
1+3+…+(2n-1)
2n2-n+1
=______.
题型:重庆难度:| 查看答案
计算:
lim
n→∞
C3n
n3+1
=______;
题型:上海难度:| 查看答案
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