已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)(1)若在f(x)的图象上横坐标为23的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;(2)若f(x)在区间(-2,3)内
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已知函数f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)(1)若在f(x)的图象上横坐标为23的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;(2)若f(x)在区间(-2,3)内
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=-x
3
+ax
2
+1,(a∈R)
(1)若在f(x)的图象上横坐标为
2
3
的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;
(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a取值范围;
(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x
4
-5x
3
+(2-m)x
2
+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试出实数m的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)依题意,f′(
2
3
)=0
∵f′(x)=-3x
2
+2ax
-3(
2
3
)
2
+2•a•
2
3
=0,
∴a=1(3分)
(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,
则方程f′(x)=0在区间(-2,3)内有两个不同的实根,
∴△>0,f′(-2)<0,f′(3)<0,-2<
a
3
<3,
解得-3<a<
9
2
且a≠0
但a=0时,f(x)=-x
3
+1无极值点,
∴a的取值范围为(-3,0)∪(0,
9
2
)(8分)
(3)在(1)的条件下,a=1,
要使函数f(x)与g(x)=x
4
-5x
3
+(2-m)x
2
+1的图象恰有三个交点,
等价于方程-x
3
+x
2
+1=x
4
-5x
3
+(2-m)x
2
+1,
即方程x
2
(x
2
-4x+1-m)=0恰有三个不同的实根.
∵x=0是一个根,
∴应使方程x
2
-4x+1-m=0有两个非零的不等实根,
由△=16-4(1-m)>0,1-m≠0,解得m>-3,m≠1(12分)
∴存在m∈(-3,1)∪(1,+∞),
使用函数f(x)与g(x)=x
4
-5x
3
+(2-m)x
2
+1的图象恰有三个交点(13分)
举一反三
y=
2-cosx
sinx
在点(
π
3
,
3
)处的切线与直线x+ay+1=0垂直
,则a为( )
A.0
B.
-
3
8
C.
3
8
D.
-
8
3
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=-x
3
+2f′(1)x,则函数f(x)在x=1处的切线方程为( )
A.y=3x+8
B.y=-3x+2
C.y=3x-4
D.y=-3x+8
题型:不详
难度:
|
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设曲线y=2sinx+x在点p
0
处的切线与直线x+1=0垂直,则P
0
点的坐标为( )
A.(-
π
3
,
3
+
2
3
π
)
B.(
2
3
π
,
3
+
2
3
π
)
C.(
π
3
,
3
)
D.(
2
3
π
,
3
)
题型:不详
难度:
|
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lim
n→∞
(1+
1
3
+
1
3
2
+
…
+
1
3
n
)
=( )
A.
5
3
B.
3
2
C.2
D.不存在
题型:江西
难度:
|
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求
lim
n→∞
(
n
2
+1)+(
n
2
+2)+…+(
n
2
+n)
n(n-1)(n-2)
的值.
题型:不详
难度:
|
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