函数y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=2x+1，则lim△x→0f(x0)-f(x0-2△x)△x等于______．

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函数y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线方程为y=2x+1，则

lim

△x→0

f(x0)-f(x0-2△x)

△x

等于______．

答案

因为函数y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线方程为y=2x+1，所以

lim

△x→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x

=2，
则

lim

△x→0

f(x0)-f(x0-2△x)

△x

lim

△x→0

(-2)×

f(x0-2△x)-f(x0)

-2△x

lim

△x→0

f(x0-2△x)-f(x0)

-2△x

=2×2=4．
故答案为4．

举一反三

如果过曲线y=x⁴-x上点P处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P的坐标为______．

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若以曲线y=f（x）任意一点M（x，y）为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N（x₁ y₁），以点N为切点作切线l₁，且l∥l₁，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为______．（写出所有满足条件的函数的编号）
①y=x³-x
②y=x+

③y=sina
④y=（x-2）²+lnx．

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设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(

+1)＞

都成立．

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已知定义在正实数集上的函数f（x）=

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．
（1）若a=1，求b的值；
（2）用a表示b，并求b的最大值．

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曲线y=e^x+2x在点A（0，1）处的切线方程为（　　）

A．3x-y+1=0

B．3x+y+1=0

C．3x-y-1=0

D．3x+y-1=0

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