已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同
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已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同
题型:不详
难度:
来源:
已知定义在正实数集上的函数f(x)=
1
2
x
2
+2ax,g(x)=3a
2
lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同.
(1)若a=1,求b的值;
(2)用a表示b,并求b的最大值.
答案
(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x
0
,y
0
)处的切线相同.
f′(x)=x+2,g′(x)=
3
x
,
由题意知f(x
0
)=g(x
0
),f′(x
0
)=g′(x
0
),
∴
1
2
x-
0
2
+2
x
0
=3ln
x
0
+b
x
0
+2=
3
x
0
,
由x
0
+2=
3
x
0
得x
0
=1或x
0
=-3(舍去),即有b=
5
2
.
(2)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x
0
,y
0
)处的切线相同、
f′(x)=x+2a,g′(x)=
3
a
2
x
,
由题意f(x
0
)=g(x
0
),f′(x
0
)=g′(x
0
),
即
1
2
x
20
+2a
x
0
=3
a
2
ln
x
0
+b
x
0
+2a=
3
a
2
x
0
由x
0
+2a=
3
a
2
x
0
得x
0
=a或x
0
=-3a(舍去),
即有b=
1
2
a
2
+2a
2
-3a
2
lna=
5
2
a
2
-3a
2
lna.
令h(t)=
5
2
t
2
-3t
2
lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt)、
于是当t(1-3lnt)>0,即0<t<
e
1
3
时,h′(t)>0;
当t(1-3lnt)<0,即t>
e
1
3
时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,
e
1
3
)为增函数,在(
e
1
3
,+∞)为减函数,于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h(
e
1
3
)=
3
2
e
2
3
,
故b的最大值为
3
2
e
2
3
.
举一反三
曲线y=e
x
+2x在点A(0,1)处的切线方程为( )
A.3x-y+1=0
B.3x+y+1=0
C.3x-y-1=0
D.3x+y-1=0
题型:不详
难度:
|
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定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f(x)满足两个条件:①对于任意x、y∈D,都有f(x)f(y)-f(xy)=
x
2
+
y
2
xy
;②曲线y=f(x)存在与直线x+y+1=0平行的切线.
(Ⅰ)求过点(-1,
1
4
)的曲线y=f(x)的切线的一般式方程;
(Ⅱ)当x∈(0,+∞),n∈N
+
时,求证:f
n
(x)-f(x
n
)≥2
n
-2.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=x
3
+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9
B.-3
C.9
D.15
题型:山东
难度:
|
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已知函数
f(x)=
2
3
x(
x
2
-3ax-
9
2
)
(a∈R)
,若函数f(x)的图象上点P(1,m)处的切线方程为3x-y+b=0,则m的值为( )
A.
1
3
B.
1
2
C.-
1
3
D.-
1
2
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C
1
:y=
x
2
e
+e(e为自然对数的底数),曲线C
2
:y=2elnx和直线m:y=2x.
(I)求证:直线m与曲线C
1
、C
2
都相切,且切于同一点;
(II)设直线x=t(t>0)与曲线C
1
、C
2
及直线m分别交于M、N、P,记f(t)=|MP|-|PN|,求f(t)在[e
-3
,e
3
]上的最大值.
题型:不详
难度:
|
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