(I)f′(x)=3x2-3a∈[-3a,+∞), ∵对任意的实数m,直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x3-3ax(a∈R)相切, ∴-1∉[-3a,+∞),∴-3a>-1,∴实数a的取值范围为a<; (II)存在,证明:问题等价于当x∈[-1,1]时,|f(x)|max≥, 设g(x)=|f(x)|,则g(x)在[-1,1]上是偶函数, 故只要证明当x∈[0,1]时,|f(x)|max≥, ①当a≤0时,f′(x)=3x2-3a≥0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x), g(x)max=f(1)=1-3a>1>; ②当0<a<时,f′(x)=3x2-3a=3(x+)(x-), 令f′(x)<0,得0<x<,令f′(x)>0得<x<1, ∴f(x)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增, 注意到f(0)=f()=0,且<<1, ∴x∈(0,)时,g(x)=-f(x),x∈(,1]时,g(x)=f(x), ∴g(x)max=max{f(1),-f()}, 由f(1)=1-3a≥及0<a<,解得0<a≤,此时-f()≤f(1)成立. ∴g(x)max=f(1)=1-3a≥. 由-f()=2a≥及0<a<,解得≤a<,此时-f()≥f(1)成立. ∴g(x)max=-f()=2a≥. ∴在x∈[-1,1]上至少存在一个x0,使得|f(x0)|≥成立, 即当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上至少存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于. |