设函数f(x)=ax2+bx+34在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线2x+4y-9=0.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求曲
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设函数f(x)=ax2+bx+34在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线2x+4y-9=0.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求曲
题型:不详
难度:
来源:
设函数f(x)=ax
2
+bx+
3
4
在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线2x+4y-9=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求曲线y=f(x)和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积;
(Ⅲ)设函数g(x)=
e
x
f(x)
,若方程g(x)=m有三个不相等的实根,求m的取值范围.
答案
(Ⅰ)因f(x)=ax
2
+bx+
3
4
,故f′(x)=2ax+b
又f(x)在x=0处取得极限值,故
f
′
(0)=0
,从而b=0
由曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直可知该切线斜率为2,
即
f
′
(1)=2
,有2a=2,从而a=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x
2
+
3
4
,
联立直线与曲线方程得到x=-
3
2
或x=1
故曲线y=f(x)和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为
S=
∫
1-
3
2
(-
1
2
x+
9
4
)-(
x
2
+
3
4
)dx
=
∫
1-
3
2
(-
x
2
-
1
2
x+
3
2
)dx
=
(-
1
3
x
3
-
1
4
x
2
+
3
2
x)
|
1-
3
2
=
125
48
;
(Ⅲ)
g
′
(x)=
e
x
•(
x
2
+
3
4
)-2x•
e
x
(
x
2
+
3
4
)
2
=
e
x
•(
x
2
-2x+
3
4
)
(
x
2
+
3
4
)
2
令
g
′
(x)=0
,得到
x
1
=
1
2
,
x
2
=
3
2
根据x
1
,x
2
列表,得到函数的极值和单调性
x
(-∞,
1
2
)
1
2
(
1
2
,
3
2
)
3
2
(
3
2
,+∞)
f
′
(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
举一反三
已知曲线f(x)=2x
2
+a(x≥0)与曲线
g(x)=
x
(x≥0)
相切于点P,且在点P处有相同的切线l,求切线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=kx是曲线
y=
1
2
x
2
+lnx
在x=e处的切线,则k的值为( )
A.
e+
1
e
B.
e-
1
e
C.2e
D.0
题型:不详
难度:
|
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lim
n→∞
cos
n
θ-
sin
n
θ
cos
n
θ+
sin
n
θ
=-1(0≤θ≤
π
2
)成立的条件是( )
A.θ=
π
4
B.0≤θ<
π
4
C.
π
4
<θ≤
π
2
D.
π
4
≤θ≤
π
2
题型:不详
难度:
|
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曲线y=x
3
-1在x=1处的切线方程为 ______.
题型:惠州一模
难度:
|
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若f(x)=x
3
+2,则过点P(1,3)的切线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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