已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得

已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)
(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2);
(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x2+6ax+3-6a
由f(0)=12a-4,f′(0)=3-6a,
可得曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=(3-6a)x+12a-4,
当x=2时,y=2(3-6a)+12a-4=2,可得点(2,2)在切线上
∴曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2)
(Ⅱ)由f′(x)=0得  
x2+2ax+1-2a=0…(1)
方程(1)的根的判别式
△=4a2-4(1-2a)=4(a+1+


2
) (a+1-


2
)

①当-


2
-1≤a≤


2
-1
时,函数f(x)没有极小值
②当a<-


2
-1
a>


2
-1
时,
由f′(x)=0得x1=-a- 


a2+2a-1
x2=-a+ 


a2+2a-1

故x0=x2,由题设可知1<-a+


a2+2a-1
<3

(i)当a>


2
-1
时,不等式1<-a+


a2+2a-1
<3
没有实数解;
(ii)当a<-


2
-1
时,不等式1<-a+


a2+2a-1
<3

化为-a+1<


a2+2a-1
<3-a

解得-
5
2
<a< -


2
-1

综合①②,得a的取值范围是(-
5
2
,-


2
-1)
举一反三
函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.
(Ⅰ)求此平行线的距离;
(Ⅱ)若存在x使不等式
x-m
f(x)


x
成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域中的任意实数x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
题型:姜堰市模拟难度:| 查看答案
曲线y=3x5-5x3共有______个极值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=aex和g(x)=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A,B,且以点A,B为切点的切线互相平行.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数F(x)=g(x)+
1
x
,求函数F(x)的极值;
(Ⅲ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域中的任意实数x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差,求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ex(x2+a),若x=-1为f(x)的极值点,则a的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是 ______
题型:不详难度:| 查看答案
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