已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得
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已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3-6a
由f（0）=12a-4，f′（0）=3-6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3-6a）x+12a-4，
当x=2时，y=2（3-6a）+12a-4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得
x2+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
△=4a2-4(1-2a)=4(a+1+) (a+1-)
①当--1≤a≤-1时，函数f（x）没有极小值
②当a＜--1或a＞-1时，
由f′（x）=0得x1=-a- ，x2=-a+
故x0=x2，由题设可知1＜-a+＜3
（i）当a＞-1时，不等式1＜-a+＜3没有实数解；
（ii）当a＜--1时，不等式1＜-a+＜3
化为-a+1＜＜3-a，
解得-＜a＜ --1
综合①②，得a的取值范围是(-，--1) |
举一反三
函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式＞成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． |
已知函数f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． |
| 已知函数f（x）=ex（x2+a），若x=-1为f（x）的极值点，则a的值为______． |
| 垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是 ______ |
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