设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数。(1)当m为何值时,f(x)≥0;(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,
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设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数。(1)当m为何值时,f(x)≥0;(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,
题型:广东省高考真题
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设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数。
(1)当m为何值时,f(x)≥0;
(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x
0
∈(a,b),使g(x
0
)=0,试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e
-m
-m,e
2m
-m]内有两个实根。
答案
解:(1)函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续,且
,令
,得
当x∈(-m,1-m)时,f "(x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m,+∞)时,f "(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m为极小值,而且对x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故当整数m≤1时,f(x)≥1-m≥0。
(2)由(1)知,当整数m>1时,f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在
上为连续减函数
当整数m>1时,
与
异号
由所给定理知,存在唯一的
,使
而当整数m>1时,
类似地,当整数m>1时,函数f(x)=x-ln(x+m),在
上为连续增函数
且f(1-m)与
异号,
由所给定理知,存在唯一的
,使
故当m>1时,方程f(x)=0在
内有两个实根。
举一反三
已知函数f(x)=mx
3
+2nx
2
-12x的减区间是(-2,2)。
(1)试求m,n的值;
(2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程;
(3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由。
题型:山东省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+2bx
2
+cx+1有两个极值点x
1
,x
2
,且x
1
∈[-2,-1],x
2
∈ [1,2],则f(-1)的取值范围是
[ ]
A.
B.
C.[3,12]
D.
题型:山东省模拟题
难度:
|
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已知函数
,
(Ⅰ)设a>0,若函数在区间
上存在极值,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)如果当x≥1时,不等式
恒成立,求实数k的取值范围。
题型:山西省模拟题
难度:
|
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各项均为正数的数列{a
n
}的前n项和S
n
,函数f(x)=
px
2
-(p+q)x+qlnx(其中p,q均为常数,且p>q>0),当x=a
1
时,函数f(x)取得极小值,点(a
n
,2S
n
)(n∈N*)均在函数
的图象上(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),
(Ⅰ)求a
1
的值;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅲ)记b
n
=
·q
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
。
题型:专项题
难度:
|
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已知函数f(x)=
的图象过点(-1,2),且在
处取得极值。
(1)求实数b,c的值;
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值。
题型:江西省模拟题
难度:
|
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