已知函数f（x）=的图象过点（-1，2），且在处取得极值。（1）求实数b，c的值；（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值。

题型：江西省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=的图象过点（-1，2），且在处取得极值。
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值。

答案

解：（1）当x＜1时，f"（x）=-3x²+2x+b
由题意得，即
解得b=c=0。
（2）由（1）知f（x）=
①当-1≤x＜1时，f"（x）=-x（3x-2），
解f"（x）>0得
解f"（x）＜0得-1＜x＜0或
∴f（x）在（-1，0）和上单调递减，在上单调递增，
由f"（x）=-x（3x-2）=0，得x=0或
∵f（-1）=2，，f（0）=0，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2。
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx，
当a≤0时，f（x）≤0；
当a>0时，f（x）在[1，e]上单调递增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值为a
∴当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2。