已知函数f(x)=x3-x2-2a2x+1(a>0)。(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围。(
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已知函数f(x)=x3-x2-2a2x+1(a>0)。(1)求函数f(x)的极值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围。(
题型:0127 模拟题
难度:
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已知函数f(x)=
x
3
-
x
2
-2a
2
x+1(a>0)。
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围。
(3)已知不等式f′(x)<x
2
-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围。
答案
解:(1)∵
令
则
或
∴
时,
或
∴
时,
取得极大值
时,
取得极小值
。
(2)要使函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,则函数y=f(x)的极大值大于零,极小值小于零
由(1)的极值可得
解之得
。
(3)要使
对任意
都成立
即
∵
,
∴
对任意
都成立
则x大于
的最大值
∵
由
,
∴
当且仅当
时取等号
∴
故
。
举一反三
已知函数F(x)=-
x
4
+ax
3
+
x
2
+b,(a,b为常数),
(1)当a=1时,F(x)=0有两个不相等的实根,求b的取值范围;
(2)若F(x)有三个不同的极值点0、x
1
、x
2
,a为何值时,能使函数F(x)在x
1
(或x
2
)处取得的极值为b?
(3)若对任意的a∈[-1,0],不等式F(x)≥-8在[-2,2]上恒成立,求b的取值范围.
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+(4-a)x
2
-15x+a,a∈R。
(1)若点P(0,-2)在函数f(x)的图象上,求a的值和函数f(x)的极小值;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,求a的最大值。
题型:四川省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=m+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+…+a
n
x
n
+a
n+1
x
n+1
,n∈N*。
(1)若f(x)=m+
x
2
+
x
3
。
①求以曲线y= f(x)上的点P(1,f(1))为切点的切线的斜率;
②若函数f(x)在x=x
1
处取得极大值,在x=x
2
处取得极小值,且点(x
1
,f(x
1
))在第二象限,点(x
2
,f(x
2
))位于y轴负半轴上,求m的取值范围。
(2)当a
n
=
时,设函数f(x)的导函数为f"(x),令T
n
=
,证明:T
n
≤f"(1)-1。
题型:四川省模拟题
难度:
|
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设函数f(x)=
x
4
+bx
2
+cx+d,当x=t
1
时,f(x)有极小值,
(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围; (3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t
2
∈(t
1
,t
1
+1),使f′(t
2
)=0,证明:函数g(x)=f(x)-
x
2
+t
1
x在区间(t
1
,t
2
)内最多有一个零点.
题型:模拟题
难度:
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已知函数f(x)=x
3
-3ax
2
-9a
2
x+a
3
。
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若a>
,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围。
题型:同步题
难度:
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