已知函数f（x）=x3+（4-a）x2-15x+a，a∈R。（1）若点P（0，-2）在函数f（x）的图象上，求a的值和函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）

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已知函数f（x）=x³+（4-a）x²-15x+a，a∈R。
（1）若点P（0，-2）在函数f（x）的图象上，求a的值和函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，求a的最大值。

答案

解：（1）∵点P（0，-2）在函数f（x）的图象上，
∴a=-2
∴

∴

当x变化时f"（x）的符号与f（x）的变化如下表：

由表可知，当x=1时

。
（2）

由题意，知

在（-1，1）上恒成立
即

∴a的最大值是10。

举一反三

已知函数f（x）=m+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ+a_n+1xⁿ⁺¹，n∈N*。
（1）若f（x）=m+

x²+

x³。
①求以曲线y= f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②若函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上，求m的取值范围。
（2）当a_n=

时，设函数f（x）的导函数为f"（x），令T_n=

，证明：T_n≤f"（1）-1。

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设函数f(x)=

x⁴+bx²+cx+d，当x=t₁时，f(x)有极小值，
(1)若b=-6时，函数f(x)有极大值，求实数c的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若存在实数c，使函数f(x)在闭区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m的取值范围； (3)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f′(t₂)=0，证明：函数g(x)=f(x)-

x²+t₁x在区间(t₁，t₂)内最多有一个零点．

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已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³。
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若a>

，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围。

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函数f（x）=x³+3x²+4x-a的极值点的个数是[ ]
A.2
B.1
C.0
D.由a确定

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若函数f(x)=ax³-bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值-

，
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点，求实数k的取值范围．

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