设函数f(x)=x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f(x)有极小值， (Ⅰ)若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，

题型：江苏模拟题难度：来源：

设函数f(x)=x⁴+bx²+cx+d，当x=t₁时，f(x)有极小值，
(Ⅰ)若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在c，使函数f(x)在区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f′(t₂)=0，证明：函数g(x)=f(x)-x²+t₁x在区间(t₁，t₂)内最多有一个零点。

答案

解：(Ⅰ)因为f(x)=x⁴+bx²+cx+d，
所以h(x)=f′(x)=x³-12x+c， 
由题设，方程h(x)=0有三个互异的实根，
考察函数h(x)=x³-12x+c，则h′(x)=0，得x=±2，

所以，故-16＜c＜16。
(Ⅱ)存在c∈（- 16，16），使f′(x)≥0，即x³-12x≥-c，(*)
所以x³-12x＞-16，
即(x-2）²(x+4)＞0(*)在区间[m-2，m+2]上恒成立，
所以[m-2，m+2]是不等式(*)解集的子集，
所以，或m-2＞2，即-2＜m＜0或m＞4。
(Ⅲ)由题设，可得存在α，β∈R，
使f′(x)=x³+2bx+c=(x-t₁)(x²+αx+β)，且x²+αx+β≥0恒成立，
又f′(t₂)=0，且在x=t₂两侧同号，
所以f′(x)=(x-t₁)(x-t₂)²，
另一方面，g′(x)=x³+(2b-1)x+t₁+c=x³+2bx+c-(x-t₁)=(x-t₁)[(x-t₂)²-1]，
因为t₁＜x＜t₂，且t₂-t₁＜1，
所以-1＜t₁-t₂＜x-t₂＜0，
所以0＜(x-t₂)²＜1，
所以(x-t₂)²- l＜0，而x-t₁＞0，
所以g′(x)＜0，所以g(x)在(t₁，t₂)内单调递减，
从而g(x)在(t₁，t₂)内最多有一个零点。