设函数f(x)=ax2+blnx,其中ab≠0,证明:当ab>0时,函数f(x)没有极值点;当ab<0时,函数f(x)有且只有一个极值点,并求出极值.
题型:山东省高考真题难度:来源:
设函数f(x)=ax2+blnx,其中ab≠0,证明:当ab>0时,函数f(x)没有极值点;当ab<0时,函数f(x)有且只有一个极值点,并求出极值. |
答案
证明:因为f(x)=ax2+blnx,ab≠0,所以f(x)的定义域为(0,+∞), , 当ab>0时,如果a>0,b>0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 如果a<0,b<0,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以当ab>0时,函数f(x)没有极值点; 当ab<0时,, 令f′(x)=0,得(舍去),(0,+∞), 当a>0,b<0时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
从上表可看出,函数f(x)有且只有一个极小值点,极小值为; 当a<0,b>0时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:
从上表可看出,函数f(x)有且只有一个极大值点,极大值为; 综上所述,当ab>0时,函数f(x)没有极值点; 当ab<0时,若a>0,b<0时,函数f(x)有且只有一个极小值点,极小值为; 若a<0,b>0时,函数f(x)有且只有一个极大值点,极大值为。 |
举一反三
函数f(x)=x-3x2+1在x=( )处取得极小值。 |
设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R, (Ⅰ)若x=e为y=f(x)的极值点,求实数a; (Ⅱ)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立。 注:e为自然对数的底数。 |
已知a是给定的实常数.设函数f(x)=(x-a)2(x+b)ex,b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点, (Ⅰ)求b的取值范围; (Ⅱ)设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某种排列(其中{i1,i2,i3,i4}={1,2,3,4})依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4;若不存在,说明理由. |
定义函数fn(x)=(1+x)n-1,x>-2,n∈N。 (1)求证:fn(x)≥nx; (2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数在区间[a,0]上的值域为[ka,0]?若存在,求出最小的k值及相应的区间[a,0],若不存在,说明理由。 |
已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x(a为常数), (1)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围; (2)在(1)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0,3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由。 |
最新试题
热门考点