定义函数fn(x)=(1+x)n-1,x>-2,n∈N。(1)求证:fn(x)≥nx;(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数在区间[a,0]上的值

定义函数fn(x)=(1+x)n-1,x>-2,n∈N。(1)求证:fn(x)≥nx;(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数在区间[a,0]上的值

题型:0103 模拟题难度:来源:
定义函数fn(x)=(1+x)n-1,x>-2,n∈N。
(1)求证:fn(x)≥nx;
(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数在区间[a,0]上的值域为[ka,0]?若存在,求出最小的k值及相应的区间[a,0],若不存在,说明理由。
答案
解:(1)


时,
时,
∴g(x)在x=0处取得极小值,同时g(x)是单峰函数,则g(0)也是最小值

(当且仅当x=0时取等号);(2)


∴当时,
时,

故h(x)的草图如图所示
①在时,最小值

②在时,最小值

③在时,最小值=
时取等号
综上讨论可知k的最小值为,此时
举一反三
已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x(a为常数),
(1)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0,3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由。
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函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=

[     ]

A.2
B.3
C.4
D.5
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函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2+1)不存在极值点,则实数a的取值范围是(    )。
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已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R)。
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈[-1,1]时,f(x)>0,求实数a的取值范围。
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已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
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