已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值。(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+t,是
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已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。 |
答案
解:(1)f"(x)=3ax2+2bx-3, 因为f(x)在x=1和x=3处取得极值, 所以x=1和x=3是f"(x)=0的两个根 ∴ 即 所以; (2) 令 ∴ 当x变化时,g"(x),g(x)变化情况如下表:
由上表可知:g(x)极大值=g(3)=t;g(x)极小值=g(1)= ∵ ∴由此可知x取足够大的正数时,有g(x)<0;x取足够小的负数时,有g(x)>0 因此,为使曲线y=g(x)与x轴有两个交点,结合g(x)的单调性,必有:g(x)极大值=g(3)=t=0, 或 ∴或 所以存在t且t=0或符合题目要求。 |
举一反三
函数f(x)=ax(x-2)2(a≠0)有极大值,则a等于 |
[ ] |
A.1 B. C.2 D.3 |
已知f(x)=x3-3ax2-bx(其中a,b为实数), (Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值为2,求a、b的值; (Ⅱ)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数且b=9a,求a的取值范围. |
设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则 |
[ ] |
A.a>-3 B.a<-3 C.a> D.a< |
设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则 |
[ ] |
A.a<-1 B.a>-1 C.a< D.a> |
已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点,求b的取值范围. |
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