已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x(a为常数),(1)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;(2)在(1)的条件下,设由f(x)的极大
题型:山西省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x(a为常数), (1)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围; (2)在(1)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0,3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由。 |
答案
解:(1), 令f′(x)=0,得x=0,x=2-a, 当a=2时,恒成立,此时函数f(x)单调递减,x=0不是函数的极值点; 当a>2时,2-a<0,若x>0,则f′(x)<0;若2-a<x<0,则f′(x)>0,此时x=0是函数f(x)的极大值点; 当a<2时,2-a>0,若x<0,则f′(x)<0;若0<x<2-a,则f′(x)>0,x=0是函数f(x)的极小值点; 综上所述,使得函数f(x)在x=0处取得极小值的a的取值范围是a<2。 (2)由(1)知a<2时,函数f(x)在x=2-a时取得极大值, 故函数f(x)的极大值等于,故, (x<2), 令,则,对于x<2大于零恒成立,即函数h(x)在(-∞,2)单调递减, 故在(-∞,2)上,,即恒有g′(x)<1, 由直线2x-3y+m=0的斜率是,直线3x-2y+n=0的斜率是, 根据导数的几何意义知曲线g(x)只能可能与直线2x-3y+m=0相切。 |
举一反三
函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a= |
[ ] |
A.2 B.3 C.4 D.5 |
函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2+1)不存在极值点,则实数a的取值范围是( )。 |
已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2(a∈R)。 (1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,求实数a的取值范围; (2)若当x∈[-1,1]时,f(x)>0,求实数a的取值范围。 |
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。 |
函数f(x)=ax(x-2)2(a≠0)有极大值,则a等于 |
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A.1 B. C.2 D.3 |
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