已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;(Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0.
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已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. (Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0. |
答案
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) 求导函数,可得f′(x)=+lnx-1=lnx+,…(2分) ∴xf′(x)=xlnx+1, 题设xf′(x)≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a, 令g(x)=lnx-x,则g′(x)=-1.…(4分) 当0<x<1时,g′(x)>0;当x≥1时,g′(x)≤0, ∴x=1是g(x)的最大值点, ∴g(x)≤g(1)=-1.…(6分) 综上,a的取值范围是[-1,+∞).…(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)≤g(1)=-1,即lnx-x+1≤0; 当0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)≤0;…(10分) 当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx+x(lnx+-1)≥0 所以(x-1)f(x)≥0…(13分) |
举一反三
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0. (1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立. |
如图,由y=0,x=8,y=x2围成了曲边三角形OAB,M为曲线弧OB上一点, 设M点的横坐标为x0,过M作y=x2的切线PQ (1)求PQ所在直线的方程(用x0表示); (2)当PQ与OA,AB围成的三角形PQA面积最大时,求x0.
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已知函数f(x)=x2+lnx. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求证:当x>1时,x2+lnx<x3. |
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (1)当a=-4时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值及相应的x值; (2)当x∈[1,e]时,讨论方程f(x)=0根的个数. (3)若a>0,且对任意的x1,x2∈[1,e],都有|f(x1)-f(x2)|≤|-|,求实数a的取值范围. |
已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2),今年新增的年销量(单位:万件)与(2-x)2成正比,比例系数为4. (1)写出今年商户甲的收益y(单位:万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式; (2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?说明理由. |
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