用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形,再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖),问使矩形边长为多少时,其体积最大?
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用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形,再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖),问使矩形边长为多少时,其体积最大? |
答案
可设矩形的两边x,y,由几何关系x2+y2=4R2故有y=., 则体积V=π×()2×= × ∴V′=×(2x×+) 令V′=0得2x×+=0,整理得=x,解得x=R,此时另一边长为R 即当x=R时,体积取到最大值,最大值为V= ×=R3 即当长与宽都是R时,此圆柱体体积取到最大值R3 |
举一反三
定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f"(x)<0恒成立,且f(4)=1,若f(x+y)≤1,则x2+y2+2x+2y的最小值是______ |
已知函数f(x)=+ln(x+),若f(x)在区间[-k,k](k>0)上的最大值、最小值分别为M,m,则M+m=______. |
设函数f(x)=(ax-1)ex+(1-a)x+1. (I)证明:当a=0时,f(x)≤0; (II)设当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. |
设函数f(x)=xln(ex+1)-x2+3,x∈[-t,t](t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m=______. |
已知函数f(x)=-x3+ax2-4,a∈R. (I)当a=3时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值; (II )若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,求a的取值范围. |
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