设函数f(x)=(ax-1)ex+(1-a)x+1.(I)证明:当a=0时,f(x)≤0;(II)设当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.

设函数f(x)=(ax-1)ex+(1-a)x+1.(I)证明:当a=0时,f(x)≤0;(II)设当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=(ax-1)ex+(1-a)x+1.
(I)证明:当a=0时,f(x)≤0;
(II)设当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
答案
(I)证明:当a=0时,f(x)=-ex+x+1,则f′(x)=-ex+1
令f′(x)=0,可得x=0
令f′(x)<0,可得x<0,令f′(x)>0,可得x>0
∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)单调递减
∴f(x)max=f(0)=0
∴f(x)≤0;
(II)f′(x)=-(ax+a-1)ex+1-a,f(0)=f′(0)=0,
设g(x)=f′(x),则g′(x)=(ax+2a-1)ex
①a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上为减函数,
∵f′(0)=0,∴f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∴f(x)<f(0)=0与已知矛盾;
②当0<a<
1
2
,x∈(0,
1
a
-2
)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,
1
a
-2
)上为减函数,此时f′(x)<0,∴f(x)在(0,
1
a
-2
)上为减函数,∴f(x)<f(0)=0与已知矛盾;
③当a≥
1
2
,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,即f′(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴f′(x)≥f′(0)=0
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)>f(0)=0,不等式成立
综上,a≥
1
2
举一反三
设函数f(x)=xln(ex+1)-
1
2
x2+3,x∈[-t,t]
(t>0),若函数f(x)的最大值是M,最小值是m,则M+m=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=-x3+ax2-4,a∈R.
(I)当a=3时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值;
(II )若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,求a的取值范围.
题型:张掖模拟难度:| 查看答案
求证:x>1时,2x3>x2+1.
题型:不详难度:| 查看答案
某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为C=
q3
3
-3q2+20q+10(q>0)
.该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示:
题型:辽宁难度:| 查看答案
题型:东城区一模难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.

市场情形概率价格p与产量q的函数关系式
0.4p=164-3q
0.4p=101-3q
0.2p=70-3q
已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1].
(I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1;
(II)若对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,求证:|a|≤4.