(理)(1)证明不等式:ln(1+x)<x1+x(x>0).(2)已知函数f(x)=ln(1+x)-axa+x在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.(3

(理)(1)证明不等式:ln(1+x)<x1+x(x>0).(2)已知函数f(x)=ln(1+x)-axa+x在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.(3

题型:黄州区模拟难度:来源:
(理)(1)证明不等式:ln(1+x)<
x


1+x
(x>0).
(2)已知函数f(x)=ln(1+x)-
ax
a+x
在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
(3)若关于x的不等式
x
1+bx
+
1
ex
≥1在[0,+∞)上恒成立,求实数b的最大值.
答案
(1)证明:(1)令h(x)=ln(1+x)-
x


1+x
,则h′(x)=
1-


1+x+
1
4
x2
1+x
1+x
<0

∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,即h(x)<h(0)=0
∴ln(1+x)-
x


1+x
<0
∴ln(1+x)<
x


1+x
(x>0).
(2)求导函数,可得f′(x)=
x[x-(a2-2a)]
(x+1)(x+a)2
,令f′(x)=0,可得x=0或x=a2-2a,
∵函数f(x)=ln(1+x)-
ax
a+x
在(0,+∞)上单调递增
∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立
∴a2-2a≤0
∵f(x)在(0,+∞)上有意义
∴a≥0
∴0≤a≤2;
(3)关于x的不等式
x
1+bx
+
1
ex
≥1在[0,+∞)上恒成立,等价于
x
1+bx
≥1-
1
ex
在[0,+∞)上恒成立,
1-
1
ex
0,∴b≥0
当x>0时,b≤1+
1
ex-1
-
1
x

构造函数g(x)=1+
1
ex-1
-
1
x
,则g′(x)=-
ex
(ex-1)2
+
1
x2

由(1)知,ln(1+x)<
x


1+x
(x>0).
以ex代1+x,可得x<
ex-1


ex

∵x>0,∴-
ex
(ex-1)2
+
1
x2
>0,
∴g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调增
当x>0且x→0时,g(x)→1
∴b≤1
∴实数b的最大值为1
举一反三
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2


2
.斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)试用m表示△MPQ的面积,并求面积的最大值.
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(1)求f(x);
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xy+x+y-3
2
题型:不详难度:| 查看答案
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(1)求月利润L与产量x的函数关系式L(x);
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