已知某精密仪器生产总成本C(单位:万元)与月产量x(单位:台)的函数关系为C=100+4x,月最高产量为15台,出厂单价p(单位:万元)与月产量x的函数关系为:
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已知某精密仪器生产总成本C(单位:万元)与月产量x(单位:台)的函数关系为C=100+4x,月最高产量为15台,出厂单价p(单位:万元)与月产量x的函数关系为:p=76+15x-x2. (1)求月利润L与产量x的函数关系式L(x); (2)求月产量x为何值时,月利润L(x)最大? |
答案
(1)月利润函数为:L(x)=px-C=(76+15x-x2)x-(100+4x)=-x3+15x2+72x-100, 其中0<x≤15. (2)因为利润函数L(x)是x的三次函数,对L(x)求导,得 L′(x)=-3x2+30x+72=-3(x+2)(x-12); 令L"(x)=0,解得x=12,或x=-2(舍去), 当x∈(0,12)时,L"(x)>0;当x∈(12,15]时,L"(x)<0; 因此,当x=12时,L(x)取最大值; 所以,月产量为12台时,月利润L(x)最大,最大月利润为L(12)万元. |
举一反三
已知函数f(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,x∈[0,+∞),求f(x)的最大值. |
已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润为______万元. |
已知f(x)=2x3-6x2+a(a为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的值域是( )A.[-37,3] | B.[-29,3] | C.[-5,3] | D.以上都不对 |
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设e为自然对数的底数,已知直线l:y=-e-t(x-t)+e-t,t>-1,则直线l与两条坐标轴所围成的三角形面积的最大值等于______. |
函数f(x)=lnx+在区间[1,e]上的最大值是______. |
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