已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值．

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已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值．

答案

（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵f′（x）=1-

1

x

，令f"（x）=0得x=1
∵当x∈（0，1）时，f"（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上为减函数
∵当x∈（1，+∞）时f"（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数
∴当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1
（Ⅱ）∵f′（x）=a-

1

x

，
若a≤0，则对任意的x∈[1，+∞）都有f"（x）＜0，∴函数f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，没有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；
若a＞0，令f"（x）=0得x=

1

a

当0＜a＜1时，

1

a

＞1，当x∈（1，

1

a

）时f"（x）＜0，函数f（x）在（1，

1

a

）上为减函数
当x∈（

1

a

，+∞）时f"（x）＞0∴函数f（x）在（

1

a

，+∞）上为增函数
∴当x=

1

a

时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=f（

1

a

）=1-ln

1

a

当a≥1时，

1

a

≤1在[1，+∞）恒有f"（x）≥0
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．
综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=1-ln

1

a

，没有最大值；
当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a，没有最大值．