若函数f(x)=13x3-x在(a,10-a2)上有最小值,则a的取值范围为______.
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若函数f(x)=13x3-x在(a,10-a2)上有最小值,则a的取值范围为______.
题型:黄冈模拟
难度:
来源:
若函数
f(x)=
1
3
x
3
-x在(a,10-
a
2
)
上有最小值,则a的取值范围为______.
答案
由已知,f′(x)=x
2
-1,有x
2
-1≥0得x≥1或x≤-1,
因此当x∈[1,+∞),(-∞,-1]时f(x)为增函数,在x∈[-1,1]时f(x)为减函数.
又因为函数
f(x)=
1
3
x
3
-x在(a,10-
a
2
)
上有最小值,所以开区间(a,10-a
2
)须包含x=1,
所以函数f(x)的最小值即为函数的极小值f(1)=-
2
3
,
又由f(x)=-
2
3
可得
1
3
x
3
-x=-
2
3
,于是得(x-1)
2
(x+2)=0
即有f(-2)=-
2
3
,因此有以下不等式成立:
-2≤a<1
10-
a
2
>1
,可解得-2≤a<1,
答案为:[-2,1)
举一反三
某玩具厂生产一种儿童智力玩具,每个玩具的材料成本为20元,加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),出厂价为x元(25≤x≤40).根据市场调查知,日销售量q(单位:个)与e
x
成反比,且当每个玩具的出厂价为30元时,日销售量为100个.
(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式;
(2)若t=5,则每个玩具的出厂价x为多少元时,该工厂的日利润y最大?并求最大值.
题型:不详
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函数f(x)=
lnx
x
的最大值为______.
题型:不详
难度:
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设函数f(x)=x
2
,g(x)=alnx+bx(a>0)
(1)若f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),求g(x)的解析式;
(2)在(1)的结论下,是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值.若不存在,说明理由.
(3)设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x
1
和x
2
,且x
1
,x
0
x
2
成等差数列,试探究值G′(x
0
)的符号.
题型:不详
难度:
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把长为12cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形最小的面积之和是______.
题型:不详
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函数f(x)=2x
2
-6x+1在区间[-1,1]上的最小值是______,最大值是______.
题型:不详
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