设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．

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设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为

，求a的值．

答案

解：对函数求导得：

，定义域为（0，2）
（1）当a=1时，f′（x）=

﹣

+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜

时，f（x）为增函数；
当f′（x）＜0，

＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，

），单调减区间为（

，2）
（2）函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0），

＞0，
所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．
最大值在右端点取到．

所以a=

．

举一反三

已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x²+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有

成立．

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已知函数

（a＞0）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式

对x∈R恒成立，求a的取值范围．

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设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x﹣2）﹣（x﹣2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x₁，x_2^∈（﹣1，1），不等式|f（x₁）﹣f（
x₂）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x₀≥1，f（x₀）≤1时，有f[f（x₀）]=x₀，求证：
f（x₀）=x₀．

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已知函数f（x）=lnx﹣a²x²+ax（a≥0）．
（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

题型：河南省期末题难度：| 查看答案

已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（1）若xf"（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（2）证明：（x﹣1）f（x）≥0

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