已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;(2)
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已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;(2)
题型:高考真题
难度:
来源:
已知函数f(x)=ax
2
+1(a>0),g(x)=x
3
+bx。
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围。
答案
解:(1)f(x)=ax
2
+1(a>0),则f"(x)=2ax,k
1
=2a,g(x)=x
3
+bx,则f"(x)=3x
2
+b,k
2
=3+b,由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ①
又f(1)=a+1,g(1)=1+b,
∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:a=3,b=3。
(2)当a=3,b=-9时,设h(x)=f(x)+g(x)=x
3
+3x
2
-9x+1
则h′(x)=3x
2
+6x-9,令h"(x)=0,解得:x
1
=-3,x
2
=1;
∴k≤-3时,
函数h(x)在(-∞,-3)上单调增,在(-3,2]上单调减,所以在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28 -3<k<2时,
函数h(x)在在区间[k,2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是(-∞,-3] 。
举一反三
已知函数
,其中a≠0。
(1)若对一切x ∈R ,
≥1恒成立,求a的取值集合。
(2)在函数
的图像上取定两点
,
,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x
0
∈(x
1
,x
2
),使
成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由。
题型:高考真题
难度:
|
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函数y=
的最大值为( )。
题型:高考真题
难度:
|
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已知函数
。
(1)当
时,求函数
在
处的切线方程;
(2)当
时,判断方程
实根的个数。
题型:模拟题
难度:
|
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已知函数
。
(1)当
时,求
在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)如果在公共定义域D上的函数g(x),
满足
,那么就称g(x)为
的“活动函数”,已知函数
,若在区间
上,函数
是
的“活动函数”,求实数a的取范围。
题型:模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=kx
3
﹣3kx
2
+b,在[﹣2,2]上最小值为﹣17,最大值为3,求k、b的值.
题型:江西省同步题
难度:
|
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