把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x).(1)写出
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把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x).(1)写出
题型:期末题
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把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x).
(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(2)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.
答案
解:(1)因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为
则
函数的定义域为
(2)实际问题归结为求函数V(x)在区间
上的最大值点.
先求V(x)的极值点.
在开区间
内,
令V"(x)=0,即令
,解得
.
因为
在区间
内,
可能是极值点.
当0<x<
时,V"(x)>0;
当
时,V"(x)<0
因此
是极大值点,且在区间
内,
是唯一的极值点,
所以
是V(x)的最大值点,并且最大值
即当正三棱柱形容器高为
时,容器的容积最大为4.
举一反三
已知函数f(x)=lnx,
,
(1)设函数F(x)=2g(x)﹣f(x),求F(x)的极小值.
(2)设函数F(x)=ag(x)﹣f(x),(a>0),若F(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
(3)若
>x
2
>0,总有m[g(
)﹣g(x
2
)]>
f(
)﹣x
2
f(x
2
)成立,求实数m的取值范围.
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函数f(x)=e
x
﹣x (e为自然对数的底数)在区间[﹣1,1]上的最大值是
[ ]
A.1+
B.1
C.e+1
D.e﹣1
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已知函数f(x)=ax
2
+1(a>0),g(x)=x
3
+bx。
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围。
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已知函数
,其中a≠0。
(1)若对一切x ∈R ,
≥1恒成立,求a的取值集合。
(2)在函数
的图像上取定两点
,
,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x
0
∈(x
1
,x
2
),使
成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由。
题型:高考真题
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函数y=
的最大值为( )。
题型:高考真题
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