设函数f(x)=ex-ax-2。(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f ′(x)+x+1>0,求k的最大值。
题型:高考真题难度:来源:
设函数f(x)=ex-ax-2。 (1)求f(x)的单调区间; (2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f ′(x)+x+1>0,求k的最大值。 |
答案
解:(1)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f′(x)=ex-a, 若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0, 所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增 若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0; 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0; 所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增。 (2)由于a=1,所以,(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1 故当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0等价于k<(x>0)① 令g(x)=,则g′(x)= 由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0, 所以h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上存在唯一的零点, 故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点, 设此零点为α,则有α∈(1,2)当x∈(0,α)时,g′(x)<0; 当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0; 所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α) 又由g′(α)=0,可得eα=α+2 所以g(α)=α+1∈(2,3) 由于①式等价于k<g(α), 故整数k的最大值为2。 |
举一反三
某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3+x万元.设余下工程的总费用为y万元. (1)试将y表示成关于x的函数; (2)需要修建多少个增压站才能使y最小? |
已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16。 (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值。 |
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已知函数(a∈R). (Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围. |
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx 。 (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值。 |
已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4;(3)若过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围. |
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