已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16。(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值。
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已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16。 (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值。 |
答案
解:(1)由题f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b, 又函数在点x=2处取得极值c-16 ∴,即, 化简得解得a=1,b=-12。 (2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2) 令f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)=0, 解得x1=-2,x2=2 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在∈(-∞,-2)上为增函数; 当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数; 当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数; 由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16, 由题设条件知16+c=28得,c=12 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4 因此f(x)在[-3,3]上的最小值f(2)=-4。 |
举一反三
已知函数(a∈R). (Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围. |
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx 。 (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值。 |
已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4;(3)若过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围. |
设直线x=t 与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为 |
[ ] |
A.1 B. C. D. |
已知函数,x=2是f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若当x∈[1,+∞)时,恒成立,求a的取值范围. |
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