解:(1)求导函数,可得f"(x)=x2﹣2bx+2 ∵x=2是f(x)的一个极值点 ∴f"(2)=4﹣4b+2=0, ∴, ∴f"(x)=x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2) 由f"(x)>0得x>2或x<1, ∴函数f(x)的单调增区间为(﹣∞,1),(2,+∞); 由f"(x)<0得1<x<2, ∴函数f(x)的单调减区间为(1,2), (2)由(1)知,函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增 ∴当x=2时,函数f(x)取得最小值, f(x)min=f(2)=, x∈[1,+∞)时,恒成立等价于 即a2﹣a<0, ∴0<a<1. |