如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的外面种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△AB

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如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的外面种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）当a固定，θ变化时，求

取最小值时的角．

答案

解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，

设正方形的边长为x则

，
由BP+AP=AB，得

，
故

所以

（2）

，
令t=sin2θ，因为

，所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]
所以

，

，所以函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值

，
此时

所以当

时，“规划合理度”最小，最小值为

．

举一反三

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，f′（1）=0，
曲线y=f（x）在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

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已知函数

（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

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某商场预计2012年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：p（x）= x（x+1）（41﹣2x）（x≤12且x∈N+）
（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；
（2）若第x月的销售量g（x）=

（单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=

，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e⁶≈403）

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设函数

，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为﹣2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[﹣1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

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设二次函数f（x）=mx²+nx+t的图象过原点，g（x）=ax³+bx﹣3（x＞0），f（x），g（x）的导函数为f′（x），g′（x），且f′（0）=0，f′（﹣1）=﹣2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；
（3）是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由．

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