已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,f′(1)=0,曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°.(1)求f(x)的解析式
题型:同步题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,f′(1)=0, 曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意实数α和β,不等式|f(2sinα)﹣f(2sinβ)|≤m恒成立,求m的最小值. |
答案
解:(1)由题意有f(0)=c=0,f"(x)=3x2+2ax+b 且f′(1)=3+2a+b=0 又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f′(0)=b, 而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°, 所以② 联立①②解得a=0,b=﹣3 ∴f(x)=x3﹣3x (2)|f(2sinα)﹣f(2sinβ)|≤m恒成立 等价于|f(x)max﹣f(x)min|≤m 由于2sinα∈[﹣2,2],2sinβ∈[﹣2,2], 故只需求出f(x)=x3﹣3x在[﹣2,2]上的最值, 而f′(x)=3x2﹣3, 由f′(x)=0得x=±1 列表如下: ∴f(x)max=2,f(x)min=﹣2 ∴f(x)max﹣f(x)min|=4≤m ∴m的最小值为4
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举一反三
已知函数 (a为实常数). (1)当a=0时,求函数f(x)的最小值; (2)若函数f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围. |
某商场预计2012年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是:p(x)= x(x+1)(41﹣2x)(x≤12且x∈N+) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式; (2)若第x月的销售量g(x)= (单位:件),每件利润q(x)元与月份x的近似关系为:q(x)= ,求该商场销售该商品,预计第几月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少?(e6≈403) |
设函数,在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x). (1)若方程f(x)=0有两个实根分别为﹣2和4,求f(x)的表达式; (2)若g(x)在区间[﹣1,3]上是单调递减函数,求a2+b2的最小值. |
设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx﹣3(x>0),f(x),g(x)的导函数为f′(x),g′(x),且f′(0)=0,f′(﹣1)=﹣2,f(1)=g(1),f′(1)=g′(1). (1)求函数f(x),g(x)的解析式; (2)求F(x)=f(x)﹣g(x)的极小值; (3)是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由. |
如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2所示), |
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(1)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大; (2)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小。 |
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