解:(1)设BD=x,则CD=3-x ∵∠ACB=45°,AD⊥BC, ∴AD=CD=3-x ∵折起前AD⊥BC, ∴折起后AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D ∴AD⊥平面BCD ∴VA-BCD= ×AD×S△BCD= ×(3-x)× ×x(3-x)= (x3-6x2+9x) 设f(x)= (x3-6x2+9x) x∈(0,3), ∵f′(x)= (x-1)(x-3), ∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)上为减函数 ∴当x=1时,函数f(x)取最大值 ∴当BD=1时,三棱锥A-BCD的体积最大。 (2)以D为原点,建立如图直角坐标系D-xyz, 由(1)知,三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2 ∴D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E( ,1,0), 且 =(-1,1,1)设N(0,λ,0), 则 =(- ,λ-1,0) ∵EN⊥BM, ∴ · =0 即(-1,1,1)(- ,λ-1,0)= +λ-1=0, ∴λ= , ∴N(0, ,0) ∴当DN= 时,EN⊥BM 设平面BMN的一个法向量为 =(x,y,z), 由 及 =(-1, ,0)得 , 取 =(1,2,-1) 设EN与平面BMN所成角为θ, 则 =(- , ,0) sinθ=|cos< , >|=| |= =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019072423-93302.png) ∴θ=60° ∴EN与平面BMN所成角的大小为60°
。 |