如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积

如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积

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如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上.
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.
答案
解:如图所示,(1)连接OC,设BC=x,矩形ABCD的面积为S;则
AB=2(其中0<x<30),
∴S=2x=2≤x2+(900﹣x2)=900,
当且仅当x2=900﹣x2,即x=15时,S取最大值900;
所以,取BC=cm时,矩形ABCD的面积最大,最大值为900cm2
(2)设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V,
由AB=2=2πr,得r=
∴V=πr2h=(900x﹣x3),(其中0<x<30);
由V"=(900﹣3x2)=0,得x=10
因此V=(900x﹣x3)在上是增函数,在(10,30)上是减函数;
∴当x=10时,V的最大值为
即取BC=10cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为cm3
举一反三
已知函数
(1)当时,讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=x2﹣2bx+4,当,若对任意∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f()+g(x2)≤0,求实数b的取值范围.
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已知函数f(x)=x2﹣ax﹣aln(x﹣1)(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的最值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)试说明是否存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.
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已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,试求a的取值范围.
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已知函数.(a为常数,a>0)
(Ⅰ)若是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(Ⅱ)求证:当0<a≤2时,f(x)在上是增函数;
(Ⅲ)若对任意的a∈(1,2),总存在 ,使不等式f(x0)>m(1﹣a2)成立,求实数m的取值范围.
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已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如表:
f(x)的导函数y=f"(x)的图象如图所示:则f(x)的单调递增区间是(    ).;f(x)的最大值是(   ) 
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