已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三
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已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1). (Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值; (Ⅲ)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,试求a的取值范围. |
答案
解:(Ⅰ)f′(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna 由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax﹣1>0,所以f′(x)>0, 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 (Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为f′(0)=0,且f′(x)在R上单调递增, 故f′(x)=0有唯一解x=0 所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
又函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点, 所以方程f(x)=t±1有三个根,而t+1>t﹣1, 所以t﹣1=(f(x))min=f(0)=1,解得t=2; (Ⅲ)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1, 所以当x∈[﹣1,1]时,|(f(x))max﹣(f(x))min| =(f(x))max﹣(f(x))min≥e﹣1, 由(Ⅱ)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增, 所以当x∈[﹣1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,(f(x))max=max{f(﹣1),f(1)}, 而, 记, 因为(当t=1时取等号), 所以在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0, 所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0, 也就是当a>1时,f(1)>f(﹣1);当0<a<1时,f(1)<f(﹣1) ①当a>1时,由f(1)﹣f(0)≤e﹣1a﹣lna≤e﹣1a≤e, ②当0<a<1时,由, 综上可知,所求a的取值范围为. |
举一反三
已知函数.(a为常数,a>0) (Ⅰ)若是函数f(x)的一个极值点,求a的值; (Ⅱ)求证:当0<a≤2时,f(x)在上是增函数; (Ⅲ)若对任意的a∈(1,2),总存在 ,使不等式f(x0)>m(1﹣a2)成立,求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如表: |
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f(x)的导函数y=f"(x)的图象如图所示:则f(x)的单调递增区间是( ).;f(x)的最大值是( ) |
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己知f(x)=Inx﹣ax2﹣bx. (Ⅰ)若a=﹣1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (Ⅱ)当a=1,b=﹣1时,证明函数f(x)只有一个零点; (Ⅲ)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),两点,AB中点为C(x0,0),求证:f"(x0)<0. |
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且 (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千年时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入﹣年总成本) |
函数的定义域为(0,1](a为实数). (Ⅰ)当a=﹣1时,求函数y=f(x)的值域; (Ⅱ)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围; (Ⅲ)求函数y=f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值 |
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