己知f(x)=Inx﹣ax2﹣bx.(Ⅰ)若a=﹣1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)当a=1,b=﹣1时,证明函数f(x)只有一个零点
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己知f(x)=Inx﹣ax2﹣bx.(Ⅰ)若a=﹣1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)当a=1,b=﹣1时,证明函数f(x)只有一个零点
题型:月考题
难度:
来源:
己知f(x)=Inx﹣ax
2
﹣bx.
(Ⅰ)若a=﹣1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)当a=1,b=﹣1时,证明函数f(x)只有一个零点;
(Ⅲ)f(x)的图象与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0),两点,AB中点为C(x
0
,0),求证:f"(x
0
)<0.
答案
解:(Ⅰ)依题意:f(x)=lnx+x
2
﹣bx f(x)在(0,+∞)上递增,
∴
≥0对x∈(0,+∞)恒成立
即
对x∈(0,+∞)恒成立,
只需
∵x>0,
当且仅当
时取=
∴
∴b的取值范围为
(Ⅱ)当a=1,b=﹣1时,f(x)=lnx﹣x
2
+x,其定义域是(0,+∞)
∴
=
∴0<x<1时,f′(x)>0当x>1时,f′(x)<0
∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln1﹣1+1=0
当x≠1时,f(x)<f(1)=0
∴函数f(x)只有一个零点
(Ⅲ)由已知得
两式相减,
得
由
及2x
0
=x
1
+x
2
,得
=
=
=
=
令
∈(0,1)且
(0<t<1)
∴
∴
在(0,1)上递减,
∴
>
=0
x
1
<x
2
,f′(x
0
)<0
举一反三
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且
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(2)年产量为多少千年时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入﹣年总成本)
题型:期末题
难度:
|
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函数
的定义域为(0,1](a为实数).
(Ⅰ)当a=﹣1时,求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)求函数y=f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值
题型:江苏省月考题
难度:
|
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设函数f(x)=x
2
+bln(x+1).
(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;
(II)若函数f(x)的定义域上是单调函数,求实数b的取值范围;
(III)若b=﹣1,证明对任意的正整数n,不等式
成立.
题型:期末题
难度:
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设函数f(x)=x
3
﹣ax,x∈R.过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值;
(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)﹣kf(x﹣1)≥0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:期末题
难度:
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已知函数f(x)=e
x
﹣ax﹣1(a>0,e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,
证明:
.
题型:期末题
难度:
|
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