设函数f(x)=x3﹣ax,x∈R.过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间和极值;(3)已知当x∈(1,
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设函数f(x)=x3﹣ax,x∈R.过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间和极值;(3)已知当x∈(1,
题型:期末题
难度:
来源:
设函数f(x)=x
3
﹣ax,x∈R.过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值;
(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)﹣kf(x﹣1)≥0恒成立,求实数k的取值范围.
答案
解:(1)∵f(x)=x
3
﹣ax,x∈R,
∴f′(x)=3x
2
﹣a≥﹣a,
∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=﹣a,
∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2,
∴﹣a=﹣1,故a=1.
(2)∵a=1,
∴f(x)=x
3
﹣x,f′(x)=3x
2
﹣1,
令f′(x)=3x
2
﹣1=0,得x=
列表讨论:
由表讨论知:函数f(x)的单调增区间是 (﹣∞,﹣
)、(
,+∞);
单调减区间是(﹣
,
).极大值f(﹣
)=﹣
+
=
,极小值f(
)=
=﹣
.
(3)∵f(x)﹣kf(x﹣1)≥0,f(x)=x
3
﹣x,
∴k≤
=
=
=
=1+
,
∵x∈(1,+∞),当1<x<2时,﹣2<1+
<1
当x=﹣2时,1+
<+∞,
当x>2时,1+
>1
∴k≤﹣2.
举一反三
已知函数f(x)=e
x
﹣ax﹣1(a>0,e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,
证明:
.
题型:期末题
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已知函数f(x)=x
2
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,
]的值域是( ).
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