定义函数fn(x)=(1+x)n﹣1,x>﹣2,x∈N*.(1)求证:fn(x)≥nx;(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)﹣f2
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定义函数fn(x)=(1+x)n﹣1,x>﹣2,x∈N*.(1)求证:fn(x)≥nx;(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)﹣f2
题型:月考题
难度:
来源:
定义函数f
n
(x)=(1+x)
n
﹣1,x>﹣2,x∈N*.
(1)求证:f
n
(x)≥nx;
(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f
3
(x)﹣f
2
(x)在区间[a,0]上的值域为[ka,0],若存在,求出最小的k值及相应的区间[a,0],若不存在,说明理由.
答案
(1)证明:令g(x)=f
n
(x)﹣nx=(1+x)
n
﹣1﹣nx.
则g"(x)=n(x+1)
n﹣1
﹣n=n[(x+1)
n﹣1
﹣1],
∴当﹣2<x<0时,g"(x)<0;
当x>0时g"(x)>0.
∴g(x)在(﹣2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
∴当x=0时,g(x)
min
=g(0)=0,即g(x)≥g(x)
min
=g(0)=0,
∴f
n
(x)≥nx;
(2)解:h(x)=f
3
(x)﹣f
2
(x)=x(1+x)
2
,x∈[a,0](a<0),
∴h"(x)=(1+x)
2
+2x(1+x)=(1+x)(1+3x),
令h"(x)=0,得x=﹣1或
∵h(﹣1)=h(0)=0,h(
)=h(
)=﹣
∴若
,则函数在[a,0]上单调增,
∴h(a)=ka,h(0)=0,
∴a(1+a)
2
=ka,
∴k=(1+a)
2
∈(
);
若
,则h(
)=ka,h(0)=0,
∴k=﹣
∈
;
若
,则h(a)=ka,h(0)=0,
∴a(1+a)
2
=ka,
∴k=(1+a)
2
∈(
,+∞)
综上知,k∈[
,+∞)
∴最小的k值为
,相应的区间为[
,0]
举一反三
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(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.
题型:月考题
难度:
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已知函数
.
(1)当
时,讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=x
2
﹣2bx+4,当
,若对任意
∈(0,2),存在x
2
∈[1,2],使f(
)+g(x
2
)≤0,求实数b的取值范围.
题型:月考题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
﹣ax﹣aln(x﹣1)(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的最值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)试说明是否存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与
无公共点.
题型:月考题
难度:
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已知函数f(x)=a
x
+x
2
﹣xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x
1
,x
2
∈[﹣1,1],使得|f(x
1
)﹣f(x
2
)|≥e﹣1,试求a的取值范围.
题型:期末题
难度:
|
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已知函数
.(a为常数,a>0)
(Ⅰ)若
是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(Ⅱ)求证:当0<a≤2时,f(x)在
上是增函数;
(Ⅲ)若对任意的a∈(1,2),总存在
,使不等式f(x
0
)>m(1﹣a
2
)成立,求实数m的取值范围.
题型:期末题
难度:
|
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