设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为﹣2和4，求f（x）的表达式；（2）若g（x）在区间[﹣1

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设函数

，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为﹣2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[﹣1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

答案

解：（1）根据导数的几何意义知f（x）=g"（x）=x²+ax﹣b
由已知﹣2、4是方程x²+ax﹣b=0的两个实数
由韦达定理，

∴

，
f（x）=x²﹣2x﹣8
（2）g（x）在区间[﹣1，3]上是单调减函数，
所以在[﹣1，3]区间上恒有f（x）=g"（x）=x²+ax﹣b≤0，
即f（x）=x²+ax﹣b≤0在[﹣1，3]恒成立
这只需满足

即可，也即

而a²+b²可视为平面区域

内的点到原点距离的平方，
其中点（﹣2，3）距离原点最近，所以当

时，a²+b²有最小值13．

举一反三

设二次函数f（x）=mx²+nx+t的图象过原点，g（x）=ax³+bx﹣3（x＞0），f（x），g（x）的导函数为f′（x），g′（x），且f′（0）=0，f′（﹣1）=﹣2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；
（3）是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由．

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如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），